Quatro formas alternativas de entrada de dados de 0 a 10.

x <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9, 10)
x
x <- 0:10
x
x <- seq(0,10, by=1)
x <- scan()
1: 0
2: 1
...
10: 9
11: 10
12: 

Extendendo as possibilidades

seq(0,1, by=0.1)
(0:10)/10
 
2*(0:10)
seq(0,20,by=2)
 
10:0
seq(10,0, by=-1)

Selecionando indivíduos pela sua posição (indexando valores de um vetor). Note que comandos a seguir somente mostram resultados sem alterar x

x[1]
x[4]
x[1:3]
x[5:8]
x[c(2, 5, 7])
x

Selecionando valores do vetor segundo outros critérios. Nos comandos a seguir o objeto original não é alterado.

pesos <- c(67, 83, 56, 91, 58, 47, 82, 75)
pesos[pesos > 80]
pesos[pesos < 50 | pesos > 80]
pesos[pesos > 50 & pesos < 80]

Substituindo valores de um vetor. Note que comandos alteram valores do vetor.

x[1:3] <- c(0, 10, 20)
x
 
pesos
pesos[4]
pesos[4] <- 81
pesos
pesos[pesos > 80]
pesos[pesos > 80] <- 85
pesos
pesos[pesos > 80] <- NA
pesos
pesos[is.na(pesos)] <- 90
pesos

Identificando as posições dos elementos que satisfazem certo critério.

pesos
which(pesos == 56)
which(pesos == 90)
which(pesos < 70)

Amostrando valores de um vetor. Note uso do rep para definir amostra com reposição. args() mostra os argumentos da função.

dados <- c(34, 28, 31, 32, 43, 40, 45, 39, 26, 29)
sample(dados, 3)
sample(dados, 3)
sample(dados, 3, rep=TRUE) 
args(sample)

Ordenando valores

dados
sort(dados)
rev(sort(dados))
sort(dados, decreasing=T)

Acrescentando elementos e concatenando dois ou mais vetores

x <- 0:10
x
x <- c(x, 11)
x
 
x1 <- c(51:60, 101:110)
x1
 
x2 <- c(x, c(15, 18, 21, 15, 30))
x2
 
x3 <- c(x2, x1)
x3
 
c(1:10, seq(21, 50, by=2), c(100, 110, 150))

Operadores aritméticas e funções para operações aritméticas, prioridade de operações, uso de parêntesis.

x <- 0:10
px <- choose(10, x) * (0.3)^x * (1-0.3)^(10-x)
px

Gráficos

plot(x, px)            # ver gráfico
plot(x, px, type="h")  # ver gráfico

Funções relacionadas a distribuições de probabilidades

px <- dbinom(x, 10, 0.3)
px

Gráfico da função acumulada

Fx <- pbinom(x, 10, 0.3)
Fx
cumsum(px)        # note que soma acumulada de dbinom() fornece mesmo resultado que pbinom()
plot(x, Fx, type="s")

Lei da reciclagem (recycling rule) válida para as operações aritméticas

2 * x
(0.3)^x
x1 <- c(2, 5, 7, 8)
x1
x2 <- c(10, 20)
x2
x1 + x2
x2 + x1
x3 <- (1:3)*10
x3
x1 + x3
x3 + x1
x2 + x3
x3 + x2
x1 * x2
x1 * x2
exp(x1) + log(x2)

Argumentos de funções: ordem dos argumentos, nomes dos argumentos, casamento parcial de nomes, argumentos com default

args(dbinom)
dbinom(x, 10, 0.3)
dbinom(x=x, size=10, prob=0.3)
dbinom(prob=0.3, x=x, size=10)
dbinom(size=10, prob=0.3, x=x)
dbinom(x, s=10, p=0.3)
dbinom(x, p=0.3, s=10)
dbinom(x, p=0.3, s=10)
dbinom(x, 10, 0.3, log=F)
dbinom(x, 10, 0.3, log=T)

Verificando máximos, mínimos e suas posições em um vetor.

pesos <- c(67, 83, 56, 91, 58, 47, 82, 75)
max(pesos)
min(pesos)
which(pesos == max(pesos))
which.max(pesos)
which(pesos == min(pesos))
which.min(pesos)

Testando pela ocorrência de NA. Note o uso do caracter de negação !

dat <- c(43, 56, NA, 23, 48, 33, NA, 29, 33, 39)
is.na(dat)
!is.na(dat)
which(is.na(dat))
which(!is.na(dat))
dat1 <- dat[!is.na(dat)]

Outras funções de probabilidades

args(dchisq)
args(dt)

Algumas contantes e operadores

exp(1)
exp(3)
print(pi, dig=12)
print(pi, dig=12)
pi
options(digits=12)
pi
exp(1)

Examinar opções de options()

options()

Funções para verificar exitência de NA's NaN's e valores infinitos (Inf)

x <- c(5, 0, -2)
x/0
is.nan(x/0)
is.finite(x/0)
!is.finite(x/0)

Explicações sobre como o R armazana objetos (RAM e/ou dispositivos como por exemplo o HD)

save.image()
q()

Listando e apagando objetos

ls()
objects()
rm(x)
rm(list=ls())
args(ls)
ls()
ls(all=T)

Tipos de objetos no R: matrizes

x <- 1:24
x
m <- matrix(x, nr=6)
m
m <- matrix(x, nr=6, byrow=T)
m
x <- 1:25
m <- matrix(x, nr=6)
m
attributes(x)
attributes(m)

Tipos de objetos no R: arrays

x <- 1:24
a <- array(x, dim=c(4,3,2))
a

Digitação e conversão de uma tabela de tripla entrada (dada no quadro durante a aula) em um objeto do tipo array

Comentários sobre ordem de entrada dos dados, cliclagem das variáveis e definição das dimensões do array

freqs <- scan()
1: 45
2: 28
3: 37
4: 16
5: 22
6: 15
7: 21
8: 34
9: 56
10: 33
11: 21
12: 30
13: 40
14: 50
15: 85
16: 45
17: 37
18: 29
19:
freqs
Af <- array(freqs, dim=c(3,2,3))
Af

freqs = scan(file='http://leg.ufpr.br/~ehlers/CE223/fumo.dat')
freqs
 [1] 45 16 21 33 40 45 28 22 34 21 50 37 37 15 56 30 85 29
 
array(freqs, dim=c(2,3,3))
, , 1
 
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   45   21   40
[2,]   16   33   45
 
, , 2
 
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   28   34   50
[2,]   22   21   37
 
, , 3
 
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   37   56   85
[2,]   15   30   29
 
# Cada matrix 2x3 contem as contagens por sexo (linhas) e estado (colunas). 
# A ultima dimensao refere-se ao habito de fumar.
 
nomes = list(c('M','F'),c('PR','SC','RS'),c('nao fuma','fuma pouco','fuma muito'))
 
hf = array(freqs, dim=c(2,3,3), dimnames=nomes)
 
hf
, , nao fuma
 
  PR SC RS
M 45 21 40
F 16 33 45
 
, , fuma pouco
 
  PR SC RS
M 28 34 50
F 22 21 37
 
, , fuma muito
 
  PR SC RS
M 37 56 85
F 15 30 29
 
m1 <- matrix(1:12, ncol = 3)
m1
 
dimnames(m1)
 
dimnames(m1) <- list(c("L1", "L2", "L3", "L4"), c("C1", "C2", "C3"))
 
m1
 
m2 <- cbind(1:5, 6:10)
m2
 
m3 <- cbind(1:5, 6)
m3
 
margin.table(m1, margin = 1)
 
apply(m1, 1, sum)
 
rowSums(m1)
 
margin.table(m1, margin = 2)
 
apply(m1, 2, sum)
 
colSums(m1)

Operacoes com matrizes

m4 <- matrix(1:6, nc = 3)
m5 <- matrix(10 * (1:6), nc = 3)
m4
 
m5
 
m4 + m5
 
m4 * m5
 
m5 - m4
 
m5/m4
 
m4 %*% m5
 
t(m4)
 
m6 = t(m4)%*% m5
 
solve(m6)
 
m6[3,3]=20
 
solve(m6)
 
mat <- matrix(c(1, 5, 2, 3, -2, 1, -1, 1, -1), nc = 3)
 
vec <- c(10, 15, 7)
 
solve(mat, vec)

Data frames

d1 = data.frame(x=1:10,y=c(51,54,61,67,68,75,77,75,80,82))
 
d1
 
      x  y
  1   1 51
  2   2 54
  3   3 61
  4   4 67
  5   5 68
  6   6 75
  7   7 77
  8   8 75
  9   9 80
  10 10 82
 
names(d1)
 
d1$x
d1$y
 
d1[,1]
d1[,2]
 
plot(d1)
 
plot(d1$x,d1$y)
 
d2 = data.frame(Y = c(rnorm(5,mean=10,sd=2), rnorm(5,16,2), rnorm(5,14,2)))
 
gl(3, 5)
 [1] 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
Levels: 1 2 3
 
d2$lev = gl(3, 5)
 
d2
 
is.factor(d2$lev)

Aplicando uma funcao a um Data Frame separando por fatores

by(d2$Y, d2$lev, summary)

Criando um Data Frame a partir de todas as combinacoes de 2 fatores.

d3 = expand.grid(1:3, 4:5)
d3
 
is.data.frame(d3)

Adicionando colunas

d4 = data.frame(peso=rnorm(15,65,5),altura=rnorm(15,160,10))
d4
 
d4=cbind(d4,sexo=c(rep('M',10),rep('F',5)))
d4

Toda coluna que não seja composta exclusivamente de números é definida como um fator.

is.factor(d4$sexo)
[1] TRUE
 
letters
 
LETTERS
 
d4=cbind(d4,nome=letters[1:15])
 
is.factor(d4$nome)
[1] TRUE
 
d4$nome= as.character(d4$nome)
 
d4
 
dim(d4)
 
names(d4)
 
dimnames(d4)
 
rownames(d4)
 
colnames(d4)
 
d4[d4$sexo=='M',1:2]
 
d4[d4$sexo=='F',4]
 
by(d4[,1:2],d4$sexo,function(x)x)
 
by(d4[,4],d4$sexo,function(x)as.character(x))

Listas

Listas sao estruturas genericas e flexiveis que permitem armazenar
diversos formatos em um unico objeto. 
 
lis1 <- list(A = 1:10, B = "CE 223", C = matrix(1:9,ncol = 3))
lis1
 
$A
[1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
 
$B
[1] "CE 223"
 
$C
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    4    7
[2,]    2    5    8
[3,]    3    6    9

Varias funcoes do R retornam listas

d1
 
lis2 = lm (y ~ x, data=d1)
 
lis2
 
is.list(lis2)
 
class(lis2)
 
summary(lis2)
 
anova(lis2)
 
names(lis2)
 
lis2$pred
 
lis2$residuals
 
par(mfrow=c(2,2))
 
plot(lis2)

Selecionando elementos de uma lista

lis1$A
 
lis2$coeff
 
lis1[3]
 
lis1[[3]]

Problema: Considere duas variáveis aleatórias: N com distribuição Poisson de parâmetro 15 e Pr com distribuição exponencial de parâmetro 1/50000. Queremos obter o quantil 99 de uma variável aleatória Y dada pelo produto das anteriores, isto é Y = N * Pr.

Solução: a solução analítica requer a obtenção da f.d.p. de Yseguida da resolução de uma equação envolvendo integração desta f.d.p. para encontrar o quantil pedido. Entretanto, vamos aqui ilustrar uma alternativa numérica para resolver o problema, usando uma aproximação numérica por simulação.

N<- rpois(10000, lambda=15)
Pr<- rexp(10000, rate=1/50000)
Y<- N*Pr
q99 <- quantile(Y, prob=0.99)

Vamos agora visualizar a distribuição de interesse de diferentes formas: pelo histograma das simulações e, uma forma alternativa (e mais interessante!!!) utilizando estimação de densidades.

hist(Y)
hist(Y, prob=T)
lines(density(Y))
plot(density(Y))
abline(v=q99)

Note que funções podem retornar resultados e/ou gráficos. A função hist() é um exemplo de função que retorna ambos.

hy <- hist(Y)
hy
class(hy)
plot(hy)
hist

Criando uma função um exemplo. Vamos encapsular todo o procedimento acima em uma função. Isto pode ser útil para tornar a execução mais rápida e eficiente quando o procedimento deve ser repetido várias vezes. (o equivalente a construir macros).

mf<- function(n,lam,r,q){
  N<-rpois(n,lambda=lam)
  Pr<-rexp(n,rate=r)
  Y<-N*Pr
  qq <- quantile(Y,prob=q)
  hist(Y,prob=T)
  lines(density(Y))
  abline(v=qq)
  text("topright", paste("quantil", q, "=", qq))
  return(invisible(qq))
}
mf(10000, 15, 1/50000, 0.99)
resp <- mf(10000,15, 1/50000, 0.99)
resp

Exercício proposto no material do curso e extensões discutidas em aula.

Calculando o valor da expressão

x <- c(12, 11,14,15,10,11,14,11)
E=-length(x)*10 + sum(x) * log(10) - sum(log(factorial(x)))
E

Agora tornando mais flexível, escrevendo uma função que permite entrar com diferentes amostras e/ou valores de λ.

mf <- function(y, lam){
-length(y)*lam + sum(y) * log(lam) - sum(log(factorial(y)))
}
mf(y=x, lam=10)

Noque que está é a expressão da log-verossimilhanca para uma a.a. de uma distribuição de Poisson

mf(y=x, lam=11)
mf(y=x, lam=12)
mf(y=x, lam=13)

Vamos então fazer o gráfico da função log-verossimilhança. Como esta é uma função do parâmetro λ vamos primeiro redefinir a função de uma forma mais conveniente colocando o parâmetro como o primeiro argumento.

mf <- function(lam, y){
-length(y)*lam + sum(y) * log(lam) - sum(log(factorial(y)))
}
l <- seq(5, 25, l=200)
ll <- mf(l)
ll <- mf(l, y=x)
plot(l, ll, type="l", xlab=expression(lambda), ylab=expression(l(lambda)))

Vamos agora indicar a solução analítica.

mean(x)
abline(v=mean(x))

A solução também poderia ser obtida por otimização numérica. Isto não é vantajoso para este problema mas pode ser a solução em casos onde a solução analítica não é disponível.

optimize(mf, c(min(x), max(x)), maximum=T, y=x)

Lendo dados externos no formato data.frame

milsa=read.table('milsa.dat',header=T)

Transformando numericos em fatores

milsa$civil=factor(milsa$civil,lev=1:2,lab=c('solteiro','casado'))
milsa$instrucao=factor(milsa$instrucao,lev=1:3,lab=c('1oGrau','2oGrau','superior'),ord=T)
milsa$regiao=factor(milsa$regiao,lev=1:3,lab=c('interior','capital','outro'))
head(milsa)

Criando nova variavel numerica

milsa=transform(milsa,idade=ano+mes/12)

Tabulacao

table(milsa$instrucao)
 
table(milsa$civil)
 
table(milsa$regiao)
 
table(milsa[,c(2,3)])
 
table(milsa$civil,milsa$instrucao)
 
attach(milsa)
 
table(civil,instrucao)
 
table(civil,instrucao,regiao)

Proporcoes

tmp=table(civil,regiao)
 
cbind(tmp, total=rowSums(tmp))
 
prop.table(tmp,mar=1)# linhas somam 1
 
rbind(tmp, total=colSums(tmp))
 
prop.table(tmp,mar=2)# colunas somam 1
 
prop.table(tmp)# todos somam 1

Resumos

summary(milsa[,-1])
 
par(mfrow=c(3,2))
 
barplot(table(civil))
barplot(table(instrucao))
barplot(table(regiao))
 
pie(table(civil),main='estado civil')
pie(table(instrucao),main='grau de instrucao')
pie(table(regiao),main='regiao de origem')

Analise bivariada

barplot(table(civil,instrucao))
barplot(table(regiao,instrucao))
 
barplot(table(civil,instrucao),beside=T)
barplot(table(regiao,instrucao),beside=T,legend.text=T)

Esquema dos 5 numeros

fivenum(idade)
 
[1] 20.83333 30.58333 34.91667 40.54167 48.91667
 
quantile(idade,c(0.25,0.75))
     25%      75% 
30.66667 40.52083

Medidas robustas

salario1=salario
salario1[36]=93.30
 
mean(salario); mean(salario1)
 
median(salario); median(salario1)
 
mean(salario,trim=0.1); mean(salario1,trim=0.1)
 
sd(salario); sd(salario1)
 
#distancia inter quartis
 
IQR(salario); IQR(salario1)
 
##Desvio absoluto mediano (MAD: median absolute deviation)
##mediana(|Xi - median(X)| * 1.4826
##A constante 1.4826 torna o mad comparavel com o sd de uma normal
 
mad(salario); mad(salario1)

Ramo-folhas

stem(salario)
 
  The decimal point is at the |
 
   4 | 0637
   6 | 379446
   8 | 15791388
  10 | 5816
  12 | 08268
  14 | 77
  16 | 0263
  18 | 84
  20 | 
  22 | 3
 
stem(salario,scale=2)
   4 | 06
   5 | 37
   6 | 379
   7 | 446
   8 | 1579
   9 | 1388
  10 | 58
  11 | 16
  12 | 08
  13 | 268
  14 | 77
  15 | 
  16 | 026
  17 | 3
  18 | 8
  19 | 4
  20 | 
  21 | 
  22 | 
  23 | 3

Histogramas

par(mfrow=c(2,2))
 
hist(salario,main='salario')
 
hist(salario,nclass=15,main='salario')
hist(idade,main='idade')
 
barplot(table(filhos),main='No de filhos')
 
par(mfrow=c(1,1))
 
hist(salario,main='salario')
rug(salario)

Estimando uma funcao de densidade

hist(salario,main='salario',prob=T)
lines(density(salario))
 
hist(idade,main='idade',prob=T)
lines(density(idade))

Boxplot

par(mfrow=c(1,2))
 
boxplot(idade,main='idade')
rug(idade,side=2)
 
boxplot(salario,main='salario')
rug(salario,side=2)
 
par(mfrow=c(2,1))
 
boxplot(idade,horizontal=T,main='idade')
rug(idade,side=1)
 
boxplot(salario, horizontal=T,main='salario')
rug(salario,side=1)

Variaveis categoricas e numericas

boxplot(salario~regiao)
boxplot(idade~civil)
 
boxplot(scale(salario),scale(idade)) #variaveis na mesma escala

Ambas variaveis numericas

plot(salario,idade) #variaveis na mesma escala
 
corr=round(cor(salario,idade),2)
 
text(20,25,paste('rho=',corr))

Analisar os dados do Exercicio 26, Capitulo 1 do livro NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA disponiveis em http://www.ime.usp.br/~noproest

Note que ha brancos no arquivo de dados (dados omissos). Uma forma de tratar este problema é abrir o arquivo Excel e salvar como um arquivo texto do tipo CSV (comma separated values). Posteriormente este arquivo pode ser lido como

read.table('nome do arquivo', header=T, sep=',')
 
# ou
read.csv('nome do arquivo', header=T)

Uma alternativa melhor é utilizar a função read.xls do pacote gdata pois assim não precisamos abrir o arquivo Excel. Após salvar o arquivo aeusp.xls na sua area de trabalho execute

library(gdata) ou require(gdata)
 
x = read.xls ('aeusp.xls')
 
head(x)
 
  Num    Comun Sexo Idade Ecivil X.Reproce X.Temposp X.Resid Trab Ttrab X.Itrab
1   1 JdRaposo    2     4      4  Nordeste        21       9    3    NA      20
2   2 JdRaposo    2     1      1   Sudeste        24       9    1     1      14
3   3 JdRaposo    2     2      1  Nordeste        31       3    1     1      14
4   4 JdRaposo    1     2      2  Nordeste        10       3    1     4      10
5   5 JdRaposo    2     4      2  Nordeste        31       6    1     1      11
6   6 JdRaposo    2     4      2   Sudeste        24       4    2    NA      15
  X.Renda X.Acompu X.Serief
1       1        2        1
2       2        2        7
3       5        2        7
4       5        2       11
5       6        1        4
6       4        2        4

Gerando 1000 amostras de tamanho n=20 de uma distribuição normal padrão

rnorm(20, m=70, sd=10)
ams <- matrix(rnorm(20*1000, m=70, sd=10), ncol=20)
dim(ams)
ams[1,]
ams[2,]

Calculando o valor da estatística de interesse para a primeira e segunda amostra

max(ams[1,])/quantile(ams[1,], prob=0.75)
unname(max(ams[1,])/quantile(ams[1,], prob=0.75))
unname(max(ams[2,])/quantile(ams[2,], prob=0.75))

Escrevendo uma função que calcula o valor da estatística de interesse e calculando novamente o valor para a primeira e segunda amostras.

T.est <- function(x) unname(max(x)/quantile(x, prob=0.75))
T.est(ams[1,])
T.est(ams[2,])

Calculando valor da estatística de interesse agora para todas as amostras de uma só vez

ts <- apply(ams, 1, T.est)
length(ts)
ts

Explorando os resultados: medidas resumo, grafico de densidade estimada e IC (95%)

summary(ts)
plot(density(ts))
quantile(ts, prob=c(0.025, 0.975))

Aumentando o número de amostras para 5000.

ams <- matrix(rnorm(20*5000, m=70, sd=10), ncol=20)
ts <- apply(ams, 1, T.est)
plot(density(ts))

Distribuição amostral da média: empírica (por simulação) versus teórica

medias <- apply(ams, 1, mean)
plot(density(medias))
curve(dnorm(x,mean=70, sd=10/sqrt(20)), 60, 80, add=TRUE, col=2)

Exercicios sobre o uso do Latex.

Um preambulo basico:

\documentclass[12pt]{article}% classes basicas: book, article, report e letter
\usepackage[brazil]{babel}% português do Brasil. 
\usepackage[latin1]{inputenc}% usar o conjunto de caracteres Europeu Ocidental.

Para usar Unicode, substitua a última linha por

\usepackage[utf-8]{inputenc}

Apos o preambulo coloque o titulo, autoria e data do artigo.

\Title{Título do Trabalho}
\author{Nome do Autor}
\date{\today}

Agora sim começa o documento,

\begin{document}
\maketitle
% seu texto ...
% Inclua seções e subseções 
\section{Uma seção}
\subsection{Uma subseção}
\end{document}

Escreva os comandos Latex para as seguintes formulas matematicas:

• 

$$ E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx $$

• 

$$ 
X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right\}
$$

• 

$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} a^k b^{n-k} $$

As fórmulas acima ficam destacadas do texto. Para que uma formula fique dentro do texto use $ formula $ ao inves de $$ formula $$.

Escreva os comandos do Latex para construir a seguinte matriz:

\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots  & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots  & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \dots  & a_{mn}\\  
\end{array}
\right]

Escreva os comandos do Latex para montar as seguintes tabelas. Tente numerar as tabelas, colocar um comentário e referenciar as tabelas no texto.

\begin{tabular}{ccc}
\hline
           & masculino & feminino \\
\hline
Não fuma   & 45        & 16       \\
Fuma pouco & 28        & 22       \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|cc|}
\hline
           & masculino & feminino \\
\hline\hline
Não fuma   & 45        & 16       \\
Fuma pouco & 28        & 22       \\
\hline
\end{tabular}

Criando uma tabela Latex de dentro do R.

m=data.frame(x=rnorm(10),y=rgamma(10))
library(Hmisc)
latex(round(m,4), title='',file='tab1.tex',caption='Usando o comando latex do pacote Hmisc.')

Agora basta incluir o arquivo tab1.tex no seu documento.

Incluindo figuras.

Os comandos abaixo criam um arquivo Postscript com um histograma.

postscript('histograma.ps')
hist(rnorm(1000))
dev.off()

Use os comandos abaixo para incluir a figura no seu documento. Será preciso incluir o comando \usepackage[dvips]{graphicx} no preambulo.

\begin{figure}[htbp]\centering
\includegraphics[width=10cm, height=10cm]{histograma.ps}
\caption{Histograma de uma amostra de tamanho 1000 da distribuição normal padrão.}
\label{fig:hist}
\end{figure}

Pode-se fazer referencia a figura no texto: figura \ref{fig:hist}, na pagina \pageref{fig:hist}. Note que a figura ficou rotacionada à esquerda. Podemos corrigir refazendo o arquivo .ps

postscript('histograma.ps',horizontal=F)
hist(rnorm(1000))
dev.off()

ou usando a opção "angle"

\begin{figure}[htbp]\centering
\includegraphics[width = 10cm, height = 10cm, angle = 270]{histograma.ps}
\caption{Histograma de uma amostra de tamanho 1000 da distribuição normal padrão.}
\label{fig:hist}
\end{figure}

Colocando duas figuras lado a lado. Acrescente \usepackage{subfigure} no preambulo.

\begin{figure}[h]
   \centerline{
   \subfigure[histograma grande]{\includegraphics[width=10cm,height=10cm]{histograma.ps}
   \label{fig:hist1}}
   \hfil
   \subfigure[histograma pequeno]{\includegraphics[width=5cm,height=5cm]{histograma.ps}
   \label{fig:hist2}}
   }
   \caption{Exemplo de duas figuras.}
   \label{fig:histogramas}
\end{figure}

Fazendo referencia: Figuras \ref{fig:histogramas}, \ref{fig:hist1} e \ref{fig:hist2}.

Mais sobre fórmulas matemáticas.

$$
\overbrace{x_1+\underbrace{x_2+\ldots+x_{n-1}}_{n-2}+x_n}^n
$$

 
$ \widehat{\theta\lambda\beta} $, $ \tilde{\pi} $, $ \widetilde{\pi q} $.

$$ \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \frac{e^{-st}}{-s} \Bigg|_0^{\infty} $$

$$
I_{x\in A} = \left\{
\begin{array}{rc}
1 & \mbox{se} \quad x \in A\\
0 & \mbox{se} \quad x \notin A
\end{array}
\right.
$$

Para gerar automaticamente uma tabela de conteúdo (ou sumário), lista de figuras e lista de tabelas inclua estes comandos logo após \begin{document}

\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables

Compile 3 vezes seu arquivo .tex e os arquivos .toc .lof e .lot serão criados.

Funções de verossimilhança

Seja (12,15,9,10,17,12,11,18,15,13) uma amostra aleatoria de .