CE-003 Turma O - Segundo semestre de 2010

No quadro abaixo será anotado o conteúdo dado em cada aula do curso.
É indicado material para leitura correspondente ao conteúdo da aula nas referências bibliográficas básicas do curso:

• B & M: BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 5a Edição, Editora Saraiva
• M & L: MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C.P. Noções de Probabilidade e Estatística. IME/SP. Editora EDUSP.
• B, R & B: BARBETTA, P.A; REIS, M.M. & BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática. Editora Atlas. 2004.
• Online Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study: Material online sobre estatística

1. Problemas para discussão:
   1. Desejamos saber a probabilidade de um casal ter duas filhas (meninas) em três situações distintas:
      • apenas sabendo que eles tem duas crianças
      • depois que o pai comenta que tem uma filha (sem dar mais detalhes, sem indicar se é a mais velha ou mais nova etc)
      • você encontra os amigos e eles estão com uma das crianças com eles que é uma menina
   2. Quantas pessoas devem haver em um grupo para que a chance de haver ao menos uma coincidência de aniversários supera 50% ?
   3. Dois jogadores (A e B) vão jogar um jogo que consiste no lançamento de dois dados. Ambos começam com R$ 10,00. Se a soma dos dados for um número ímpar, A para R$ 1,00 para B. Se a soma for par, B para R$ 1,00 para A.
      • quais os possíveis valores em dinheiro que os jogadores podem ter após 2 rodadas? A chance é a mesma para todos esses possíveis valores?
      • quais os possíveis valores em dinheiro que os jogadores podem ter após 3 rodadas? A chance é a mesma para todos esses possíveis valores?
      • o jogo é honesto?
2. Assista os vídeos a seguir, reflita, discuta com os colegas e em sala. (note que você pode habilitar legendas em inglês ou português se desejar):
   • Hans Rosling no TED Talks - como os dados podem nos ajudar a compreender e destruir mitos sobre a realidade
   • Peter Donnelly no TED Talks - como estatística e probabilidade podem ser usadas e … abusadas
   • note que você pode habilitar legendas em inglês, português ou outras línguas, se desejar
   • procure anotar as principais mensagens de cada apresentação
   • se você tivesse que destacar a descrever 2 (dois) pontos principais ou surpreendentes em cada apresentação, quais seriam?

• Leituras adicionais
  • Sugestão de leitura adicional: Pags 15 a 38 Dantas (2008)
• Exercício adicional
  • No vídeo de Peter Donnelly indicado acima, ele pede à audiência para imaginar o seguinte experimento aleatório jogando-se várias vezes uma moeda:
    • (A) conta-se o número de jogadas até se obter a sequência cara-coroa-coroa (head-tail-tail - HTT),
    • (B) conta-se o número de jogadas até se obter a sequência cara-coroa-head (head-tail-head - HTH).

Imagina-se que os experimentos (A) e (B) são repetidos muitas vezes e em cada uma anota-se o número de jogadas. Ao final calcula-se o número médio do número de jogadas anotadas em cada caso () e (). A questão levantada pelo apresentador é o que se espera:

• ou ou ?

Tente encontrar a resposta e/ou entender o argumento do apresentador. Adicionalmente, escreva um programa computacional que simule este experimento e encontre a solução através desta simulação. Coloque seu código na página Espaço Aberto do curso.

• Ver(rever) atividades acima
• Lista de exercícios (em breve aqui)

• Refazer o problema dos jogadores (A e B) no jogo de dados com as seguintes regras:
  1. se a soma for 7, A ganha e B para R$ 1,00 para A
  2. se a soma for 6, B ganha e A para R$ 1,00 para B
  3. para qualquer outro resultado não há ganhador
• Discuta com exemplos a diferença dos conceitos de eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes
• Fazer um programa na linguagem computacional de sua preferência para avaliar por simulação o número médio de tentativas para obter HTT e HTH no problema apresentado por Peter Donnelly mencionado acima. Coloque seu código na página Espaço Aberto do curso.

• Voltar à discussão do teste de HIV apresentada no vídeo de Peter Donnelly. Representar o problema em notação correta seguindo o exemplo dado em sala de aula.
• No lançamento de três dados equilibrados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes:
  

Soma 9: 1 2 6, 1 3 5, 1 4 4, 2 2 5, 2 3 4, 3 3 3, e
Soma 10: 1 3 6, 1 4 5, 2 2 6, 2 3 5, 2 4 4, 3 3 4, respectivamente.
Como pode este fato ser compatível com a experiência que leva jogadores de dados a considerarem que a soma 9 ocorre menos vezes que a soma 10?

• Refletir sobre o problema da carta premiada apresentado em sala, lembrando que o objetivo é verificar

se há alguma estratégia mais vantajosa (trocar ou não a carta escolhida) e, se houver, apontar qual delas. Obter a solução de duas maneiras:

1. Fazendo um programa de simulação (postar código na página de espaço aberto)
2. Buscando uma explicação para a resposta

• O problema do amigo oculto. Um grupo de pessoas resolveu fazer um amigo oculto. Para isto o nome de cada um foi escrito em um papel, os papeis foram misturados e cada um enviado a uma pessoa de forma completamente aleatória.
  1. Suponha inicialmente que temos 5 pessoas. Qual a probabilidade que todos recebam o seu próprio nome?
  2. O que deve acontecer com a probabilidade do ítem anterior a medida que aumenta o número de pessoas? (voce pode ilustrar isto com um gráfico)
  3. Supondo 5 pessoas, qual a probabilidade de que ninguém receba o seu próprio nome.
  4. O que deve acontecer com a probabilidade do ítem anterior a medida que aumenta o número de pessoas? (voce pode ilustrar isto com um gráfico)

 AmOc <- Vectorize(function(x) {i <- 1:x; 1 - sum((-1)^(i+1)/factorial(i))}) 
 n <- 2:20 
 plot(n, AmOc(n)) 
 abline(h=exp(-1)) 

• Ver o Material Online Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study adicionado acima na lista de referências e os tópicos sugeridos na tabela de atividades do curso.

## a linguagem R é interpretada
3+34
log(100)
## valores sao armazenados em "objetos"
## os simbolos "<-" ou "=" sao usados para atriburi valores os objetos
x <- log(100)
## e digitando o nome do objeto o seu conteúdo é exibido
x
x = log(200)
x
x <-  log(200)
x
## vetores podem ser definidos e elementos são indexados a partir de 1 (e não 0!!!)
x <- c(23, 21, 13,14)
x
x[1]
## a estrutura de um objeto pode ser exibida 
str(x)
 
## existem "funções"que efetuam cálculos estatísticos (dentre outros)
## por exemplo pnorm() é a função acumulada F(x) de distribuição normal
1 - pnorm(12, m=10, sd=2)
## podemos fazer um gráfico calculando e unindo pontos
x <- seq(3, 17, len=100)
x
plot(x, dnorm(x, m=10, sd=2), ty="l")
## e vários aspectos do gráfico podem ser definidos
plot(x, dnorm(x, m=10, sd=2), ty="l", xlab="x", ylab="f(x)")
title("Distribuição normal N(10, 4)")
 
## a densidade f(x) é dad por dnorm() e as funções possuem documentação
?dnorm
 
## vejamos agora gráfico de uma log-normal
?dlnorm
x <- seq(0, 20, l=100)
fx <- dlnorm(x, 2, 1)
plot(x, fx, ty="l")
## modificando para melhor visualização extendendo o eixo
x <- seq(0, 35, l=100)
fx <- dlnorm(x, 2, 1)
plot(x, fx, ty="l")
## cálculos de probabilidade
## P[X < 25] 
plnorm(25, 2, 1)
## e de quantis
## P(X < a) = 0.6, a=?
qlnorm(0.6, 2, 1)
## podemos ainda simular das distribuições
sam <- rlnorm(500, 2, 1)
sam
plot(x, fx, ty="l")
hist(sam, prob=T, add=T)
## Comparando com outra lognormal co  diferentes parâmetros
fx <- dlnorm(x, 2.5, 1.3)
lines(x, fx, col=2)
 
## uma outra possibilidade é definir a função desejada
derlang <- function(x, lambda, r){
  ifelse(x < 0, 0, lambda^r * x^(r-1) * exp(-lambda*x)/factorial(r-1))
}
 
## verificando que a função integra 1 em seu domínio
integrate(derlang, 0, Inf, lam=1/5, r=3)
## vendo o gráfico
fx <- derlang(x, lam=1/10, r=1)
plot(x, fx, ty="l")
## e note que a Erlang com r=1 coincide com a exponencial
fx1 <- dexp(x, 1/10)
lines(x, fx1, col=2)
## e agora com outros parâmetros
fx <- derlang(x, lam=1/5, r=3)
plot(x, fx, ty="l")
## Calculando prbabilidades por integração
## P[X < 10]
integrate(derlang, 0, 10, lam=1/5, r=3)
## veja a documentação de função de integração numérica
?integrate
## P[5 < X < 15]
integrate(derlang, 5, 15, lam=1/5, r=3)
## P[|X-10| > 3]
integrate(derlang, 0, 7, lam=1/5, r=3)$val + integrate(derlang, 13, Inf, lam=1/5, r=3)$val
 
## os resultados da integração podem ser guardados em um objeto
## no caso o objeto é uma "lista"
int <- integrate(derlang, 5, 15, lam=1/5, r=3)
int
str(int)
## $ é o extrator dos elementos da lista
xd$val
x$value
int$value
int$abs
 
## distribuição Gamma
args(dgamma)
## gráficos com diferentes valores dos parâmetros
x
fx <- dgamma(x, sh=5, sc=2)
plot(x, fx, ty="l")
fx1 <- dgamma(x, sh=2, sc=5)
lines(x, fx1, col=2)
## P[X > 15]
pgamma(15, sh=5, sc=2, low=F)
1-pgamma(15, sh=5, sc=2)
1-pgamma(15, sh=2, sc=5)

dados <- c(3.67, 1.28, 3.96, 2.93, 7.77, 2.78, 
           1.82, 8.14, 6.54, 2.82, 4.65, 5.54, 
           3.73, 2.43, 5.84, 8.45, 1.88, 0.90,
           4.10, 4.17, 7.35, 5.28, 2.12, 5.09, 
           4.30, 5.36, 3.63, 5.41, 4.26, 4.07)
summary(dados)
 
## Histogramas mostrados na aula:
## histograma com frequencias absolutas e intervalos de classe de 1 unidade
h1 <- hist(dados, breaks=seq(0, 9, by=1), main="")
# histograma com frequencias absolutas e intervalos de classe de 1,5 unidades
# e a ultima com duas unidades
h2 <- hist(dados, breaks=c(0.5, 2, 3.5, 5.0, 6.5, 8.5), main="")

## vendo as classes e frequencias em cada caso
h1[1:2]
h2[1:2]
 
## e vendo de outra forma
table(cut(dados, breaks=breaks=seq(0, 9, by=1)))
table(cut(dados, breaks=c(0.5, 2, 3.5, 5.0, 6.5, 8.5)))
 
## agora outros gráficos: 
## histograma de probabilidades, histograma suavizado ("density plot") e marcação de dados ("rug") 
hist(dados, main="", prob=TRUE)
rug(dados)
lines(density(dados))
## note que o density() nao depende da definicao de classes!
 
## ou simplesmente
plot(density(dados))
rug(dados)
 
## ramos e folhas
stem(dados)
 
## boxplot:
boxplot(dados)

Instalar o programa R mencionado na página do curso e experimentar com os comandos abaixo:

1. O problema dos aniversários

   "aniv" <- function(n, p){
     if(missing(n) && missing(p))
       error("um dos argumentos, n ou p deve ser fornecido")
     if(!missing(n) && !missing(p))
       error("apenas um dos argumentos, n ou p deve ser fornecido")
     Prob <- function(n) 1 - exp(sum(log(365:(365-n+1))) - n*log(365))
     VecProb <- Vectorize(Prob, "n")
     if(missing(n))
       res <- sapply(p, function(y) which((VecProb(1:366) - y) > 0)[1])
     if(missing(p))
       res <- VecProb(n)
     return(res)
   }
    
   aniv(n=23)
   aniv(n=c(10, 20, 35, 50, 57))
   aniv(n=366)
   plot(1:366, aniv(n=1:366), type="l", xlab="n", ylab="P[Coincidencia]")
    
   aniv(p=0.5)
   aniv(p=c(0.2, 0.4, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99))
    
   plot(1:100, aniv(n=1:100), type="l", xlab="n", ylab="P[Coincidencia]")
   arrows(c(1,aniv(p=0.5)),c(0.5, 0.5),c(aniv(p=0.5),aniv(p=0.5)),c(0.5,0), length=0.1)
   text(1, 0.5, 0.5, pos=2, off=0.1, cex=0.7)
   text(aniv(p=0.5),0 ,aniv(p=0.5), pos=1, off=0.2, cex=0.7)

2. O problema das sequências de caras e coroas

   "nTenta" <- function(N, padrao="HTT", media = TRUE){
     padrao <- strsplit(padrao, NULL)[[1]]
     nc <- length(padrao)
     nTenta <- numeric(N)
     for(i in 1:N){
       res <- sample(c("H","T"), nc, rep=T)
       n <- nc
       while(any(res != padrao)){
         res <- c(res[2:nc],  sample(c("H","T"), 1, rep=T))
         n <- n+1
       }
       nTenta[i] <- n
     }
     if(media) return(mean(nTenta))
     else return(nTenta)
   }
    
   nTenta(10000, "HTT")
   nTenta(10000, "HTH")

3. O problema da carta premiada (Monty Hall)

   "jogo" <- function(){
     cartas <- LETTERS[1:3]
     premio <- sample(cartas, 1)
     escolha <- sample(cartas, 1)
     sobra <- cartas[which(cartas != escolha)]
     mostra <- sample(sobra[which(sobra != premio)], 1)
     NTroca <- escolha
     Res.NT <- ifelse(NTroca == premio, "Ganhou", "Perdeu")
     Troca <- sobra[sobra != mostra]
     Res.T <- ifelse(Troca == premio, "Ganhou", "Perdeu")
     return(c(premio, escolha, mostra, NTroca, Res.NT, Troca, Res.T))
   }
    
   set.seed(231)
   sim <- as.data.frame(t(replicate(10000, jogo())))
   names(sim) <- c("premio", "escolha", "mostra", "NTroca", "Res.NT", "Troca", "Res.T")
   #sim
    
   prop.table(table(sim$Res.NT))
   prop.table(table(sim$Res.T))