Análise bidimensional

Até agora vimos como organizar e resumir informações pertinentes a uma única variável (ou a um conjunto de dados), mas frequentemente estamos interessados em analisar o comportamento conjunto de duas ou mais variáveis aleatórias.

O principal objetivo das análises em muitas situações é explorar relações (similaridades) entre as variáveis ou algumas vezes entre os individuos em estudo. Nesta seção iremos nos deter no caso de duas variáveis ou dois conjuntos de dados.

Quando consideramos duas variáveis (ou dois conjuntos de dados), podemos ter três situações:

1. as duas variáveis são qualitativas;
2. as duas variáveis são quantitativas;
3. uma variável é qualitativa e a outra é quantitativa.

As técnicas de análise de dados nas três situações são diferentes.

Para ilustrar o tipo de análise, consideremos o exemplo a seguir:

Exemplo: Da Tabela 1, suponha que queiramos analisar o comportamento das variáveis

Y: grau de instrução V: região de procedência

A distribuição de frequências é representada por uma tabela de dupla entrada:

A linha dos totais fornece a distribuição da variável Y, ao passo que a coluna dos totais fornece a distribuição da variável V. A distribuições assim obtidas são chamadas tecnicamente de distribuições marginais, enquanto o conteúdo da tabela constitui a distribuição conjunta de Y e V.

Uma das questões que é levantada entre pesquisadores de diversas áreas diz respeito a associação entre variáveis. Veja alguns casos:

• A velocidade do atleta está associada com sua massa muscular ?
• A venda diária de refrigerantes está associada a temperatura máxima ?
• A nota de matemática de um aluno está associada a sua nota em física ?

Exemplo 5.3: Dentre os alunos do 1o ano do ensino médio de uma certa escola, selecionou-se os quinze alunos com melhor desempenho (nota acima de 7) em inglês. Veja na tabela abaixo as notas em inglês, português e matemática destes quinze alunos.

Para uma análise inicial da associação entre duas variáveis quantitativas, o diagrama de dispersão é a ferramenta indicada. O diagrama de dispersão consiste em exibir no plano cartesiano os pares de valores observados para duas variáveis quantitativas.

Figura 5.1- Diagrama de dispersão entre notas de inglês e português

Na Figura 5.1 é apresentado um diagrama de dispersão entre as notas de inglês e as notas de português dos 15 alunos. A reta tracejada indica qual seria o comportamento teórico se a associação entre as duas notas fosse perfeita, ou seja, se o alunos tivessem obtido as mesmas notas em português e inglês. A reta é referência para avaliar o comportamento dos alunos. Aqueles que tiveram desempenho melhor em português do que inglês estão acima da reta e os outros, que tiveram melhor desempenho em inglês, estão abaixo da reta.

Figura 5.2- Diagrama de dispersão entre notas de inglês e matemática

Um novo diagrama de dispersão (Figura 5.2) ilustra a associação entre as notas de inglês e matemática. Nesta figura, revela-se a tendência dos alunos com bom desempenho em inglês apresentarem mau desempenho em matemática.

Embora o diagrama de dispersão seja uma importante ferramenta para visualizar a associação entre duas variáveis quantitativas, há algumas limitações no seu uso. Para citar uma delas, se no conjunto de dados o par (x,y) é repetido várias vezes, este fato não é ilustrado no diagrama de dispersão, a menos da utilização de uma intervenção gráfica como registrar o número de observações correspondente ao ponto (x,y).

Para representar objetivamente o grau de associação entre valores observados para duas variáveis quantitativas, utiliza-se com frequência a medida chamada de coeficiente correlação.

Para um conjunto de dados com n pares de valores (x,y) para as variáveis X e Y , a dependência (grau de associação) linear é medida através do coeficiente de correlação linear definido através de:

de forma mais conveniente este coeficiente pode ser reexpresso como:

O coeficiente de correlação é uma medida adimensional que varia de -1 até 1. Quanto mais próximo dos extremos, maior é a evidência de asssociação entre as variáveis. Caso o coeficiente de correlação seja igual a zero, não há dependência linear entre as variáveis.

Exemplo 5.11: A quantidade de chuva é um fator importante na produtividade agrícola. Para medir esse efeito foram anotados, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o índice pluviométrico em milímetros (X) e a produção do último ano em toneladas (Y). Vamos determinar o coeficiente de correlação.

Para calcular o coeficiente de correlação entre o índice pluviométrico e a produção agrícola, através da segunda das formulações apresentadas, são necessários os seguintes somatórios:

a substituição destes resultados na fórmula, gera o coeficiente :

note que o valor próximo a 1, expressa associação positiva indicando que o aumento da quantidade de chuva está associado com aumento da produção.