CE-227 - Primeiro semestre de 2016

No quadro abaixo será anotado o conteúdo dado em cada aula do curso.
São indicados os Capítulos e Sessões correspondentes nas referências bibliográficas, bem como os exercícios sugeridos.

Veja ainda depois da tabela as Atividades Complementares.

Observação sobre exercícios recomendados os exercícios indicados são compatíveis com o nível e conteúdo do curso.
Se não puder fazer todos, escolha alguns entre os indicados.

Manifestar uma opinião subjetiva sobre o parâmetro de uma distribuição binomial. (basear-se no contexto de intenção de voto discutido em aula)

Encontrar um algoritmo que especifique os parâmetros de uma distribuição Beta a partir da opinião subjetiva manifestada.

Encontrar a aproximação normal para a posteriori do exemplo beta-binomial

Propor e implementar um algorítimo para obtenção de amostras da posteriori do exemplo discutido no curso.

Propor e implementar algorítimos para discretização da posteriori e amostragem via métodos a rejeição e MCMC.

Considere o modelo de verossimilhança e a priori . Mostre como obter a densidade:
.
Como este resultado pode ser interpretado?

1. Obter os resultados analíticos possíveis para o problema da questão 5 da prova (posteriori, constante de integração, aproximação quadrática, etc)
2. Implementar os diferentes métodos para inferência baseada na posteriori (exata, aproximação normal, discretização, amostragem)

1. Derivar os expressões das condicionais completas no problema do ponto de mudança da Poisson (ex. do capitulo 8)
2. Implementar o algorítmo de Gibbs para este exemplo.

Exemplos discutidos utilizando JAGS/rjags:

1. Amostragem da normal

   ## Simulando um conjunto de dados
   n <- 20
   x <- rnorm(n, 70, 5)
   ## Exportar os dados (não é necessário) se utilizando o rjags
   #write.table(x,
   #            file = 'normal.data',
   #            row.names = FALSE,
   #            col.names = FALSE)
   ## Especificação do modelo (deve ser exportada para um arquivo)
   cat( "model {
   	for (i in 1:n){
   		x[i] ~ dnorm(mu, tau)
   	}
   	mu ~ dnorm(0, 0.0001)
   	tau <- pow(sigma, -2)
   	sigma ~ dunif(0, 100)
    }", file="normal.modelo"
   )
   ## Carregando o pacotes rjags (pode-se ainda usar outros como runjags, R2jags etc)
   require(rjags)
    
   ## Definindo valores iniciais. No caso três conjuntos porque iremos rodas 3 cadeias. 
   ## OBS: valores iniciais são dispensáveis neste exemplo
   inis <- list(list(mu=10, sigma=2),
                list(mu=50, sigma=5),
                list(mu=70, sigma=10))
   ## O proximo comando prepara e " compila" o modelo e opções para o algorítmo
   jags <- jags.model('normal.modelo',
                      data = list('x' = x, 'n' = n),
                      n.chains = 3,
                      inits = inis,
                      n.adapt = 100)
   ## Obtendo as amostras (diferentes opções, a última já prepara em formato para uso com o 
   ##  pacote ´coda´)
   #update(jags, 1000)
   #sam <- jags.samples(jags, c('mu', 'tau'), 1000)
   sam <- coda.samples(jags, c('mu', 'tau'), n.iter=10000, thin=10)
   ## Visualizações e resultados
   par(mfrow=c(2,2))
   plot(sam)
   str(sam)
   summary(sam)
   HPDinterval(sam)

2. regressão linear simples

   ## simulando dados
   n <- 20
   x <- sort(runif(n, 0, 20))
   epsilon <- rnorm(n, 0, 2.5)
   y <- 2 + 0.5*x + epsilon
    
   plot(y ~ x)
   lines(lm(y ~x))
   ## especificando o modelo para o JAGS
   cat( "model {
         	for (i in 1:n){
   		y[i] ~ dnorm(mu[i], tau)
   		mu[i] <- b0 + b1 * x[i]
   	}			
   	b0 ~ dnorm(0, .0001)
   	b1 ~ dnorm(0, .0001)
   	tau <- pow(sigma, -2)
   	sigma ~ dunif(0, 100)
   }", file="reglin.modelo")
    
   ## poderia-se redefinir o modelo acima com uma possível priori alternativa, por ex:
   ## tau ~ dgamma(0.001, 0.001)
   ## sigma2 <- 1/tau
    
   #write.table(data.frame(X = x, Y = y, Epsilon = epsilon),
   #            file = 'reglin.dados',
   #            row.names = FALSE,
   #            col.names = TRUE)
    
   require(rjags)
    
   ## Valores iniciais (vamos rodar só duas cadeias neste exemplo)
   inis <- list(list(b0=0, b1=1, sigma=1),
                list(b0=1, b1=0.5, sigma=2),
                list(b0=2, b1=0.1, sigma=5))
   ## Compilando modelo, dados e opções
   jags <- jags.model('reglin.modelo',
                      data = list('x' = x,
                                  'y' = y,
                                  'n' = n),
                      n.chains = 2,
                      # inits=inits,
                      n.adapt = 100)
   #update(jags, 1000)
   class(jags)
    
   ## obtenção das amostras da posteriori ...
   ## ... via rjags
   sam <- jags.samples(jags,
                      c('b0', 'b1', 'sigma'),
                      1000)
   class(sam)
    
   ## ... ou via coda
   sam <- coda.samples(jags,
                c('b0', 'b1', 'sigma'),
                1000)
   class(sam)
   str(sam)
   plot(sam)
    
   ## Pode-se tb obter as distribuições preditivas correspondentes a cada observação 
   sam <- coda.samples(jags,
                c('b0', 'b1', 'sigma', "y"),
                1000)
   str(sam)
   int <- HPDinterval(sam)
   str(int)
   ## complementar com gráficos, resumos, inferências de interesse, etc

3. Coeficiente de correlação intraclasse

   ## Dados simulados do modelo:
   ## Y_{ij} \sim N(\mu_{i}, \sigma^2_y)
   ##     mu_{i} = theta + b_{i}
   ##     b_{i} \sim N(0, \sigma^2_b)
   ## que, por ser normal (com ligação identidade)
   ## pode ser escrito por:
   ## Y_{ij} = \beta_0 + b_{i} + \epsilon_{ij} 
   ##
   ## simulando dados:
   Ngr <-  25
   Nobs <- 10
   set.seed(12)
   sim <- data.frame(id  = Ngr*Nobs,
                     gr  = rep(1:Ngr, each=Nobs),
                     bs  = rep(rnorm(Ngr, m=0, sd=10), each=Nobs),
                     eps = rnorm(Ngr*Nobs, m=0, sd=4)
                     )
   sim <- transform(sim, y = 100 + bs + eps)
   sim
    
   ## estimativas "naive"
   resumo <- function(x) c(media=mean(x), var=var(x), sd=sd(x), CV=100*sd(x)/mean(x))
   (sim.res <- aggregate(y~gr, FUN=resumo, data=sim))
   var(sim.res$y[,1])
   mean(sim.res$y[,2])
   mean(sim$y)
    
   ## A seguir serão obtidas inferências de três formas diferentes:
   ## - ajuste modelo de efeito aleatório (não bayesiano)
   ## - ajuste via JAGS (inferência por simulação da posteriori)
   ## - ajuste via INLA (inferência por aproximação da posteriori)
    
   ##
   ## Modelo de efeitos aleatórios
   ##
   require(lme4)
   fit.lme <- lmer(y ~ 1|gr, data=sim)
   summary(fit.lme)
   ranef(fit.lme)
   coef(fit.lme)$gr - fixef(fit.lme)
   print(VarCorr(fit.lme), comp="Variance")
    
   ## JAGS
   require(rjags)
    
   sim.lst <- as.list(sim[c("gr","y")])
   sim.lst$N <- nrow(sim)
   sim.lst$Ngr <- length(unique(sim$gr))
   mean(sim.lst$y)
    
   cat("model{
       for(j in 1:N){
           y[j] ~ dnorm(mu[gr[j]], tau.e)
        }
       for(i in 1:Ngr){
           mu[i] ~ dnorm(theta, tau.b)
       }
       theta ~ dnorm(0, 1.0E-6)
       tau.b ~ dgamma(0.001, 0.001)
       sigma2.b <- 1/tau.b
       tau.e ~ dgamma(0.001, 0.001)
       sigma2.e <- 1/tau.e
       cci <- sigma2.e/(sigma2.e+sigma2.b)
   }", file="sim.jags")
    
   sim.jags <- jags.model(file="sim.jags", data=sim.lst, n.chains=3, n.adapt=1000)
   ## inits = ...
    
   fit.jags <- coda.samples(sim.jags, c("theta", "sigma2.b", "sigma2.e", "cci"), 10000, thin=10)
    
   summary(fit.jags)
   plot(fit.jags)
    
   ##
   require(INLA)
    
   fit.inla <- inla(y ~ f(gr) , family="gaussian", data=sim)
   summary(fit.inla)
   sqrt(1/fit.inla$summary.hyperpar[,1])

Atividades propostas: - Complementar as análise acima com exploração dos resultados, obtenção de gráficos e resultados de interesse - Ajustar o modelo acima aos dados de:
Julio M. Singer, Carmen Diva Saldiva de André, Clóvis de Araújo Peres
Confiabilidade e Precisão na Estimação de Médias**
Revista Brasileira de Estatística, v73, n. 236, jan./jun. 2012.

1. Identificar e ajustar modelos (não bayesianos, bayesianos por simulação ou aproximados) para dados simulados da seguinte forma:

   set.seed(123456L)
   n <- 50
   m <- 10
   w <- rnorm(n, sd=1/3)
   u <- rnorm(m, sd=1/4)
   b0 <- 0
   b1 <- 1
   idx <- sample(1:m, n, replace=TRUE)
   y <- rpois(n, lambda = exp(b0 + b1 * w + u[idx]