• Graduado em Engenharia Agronômica - Eng Agronômica - UFPR

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### Agulha de buffon
buffon <- function(n,l=1,a=1){
  if(a<l){cat('Erro: a < l, deve ser a > l\n')}
  if(a>=l){
  theta <- runif(n,0,pi)
  dist <- runif(n,0,a/2)
  inter <- sum(dist <= l/2*sin(theta))
  phi_est <- round((n/inter)*(2*l/a),12)
  cat('Número Simulação',n,'phi_estimado',phi_est,'Erro',round(pi-phi_est,12),'\n')
  return(c(n,phi_est))
}}
 
n <- seq(10000,1000000,by=20000)
res <- matrix(NA,ncol=2,nrow=length(n))
con <- 1
for (i in n){
  res[con,] <- buffon(i)
  con <- con+1
}
 
plot(res,type='l',ylab=expression(pi),xlab='Simulações')
abline(h=pi,col='red')
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### MOnte carlo
## Calcula a área via simulação de monte carlo
## args: r= raio, s vetor com numero de simulação, plotS plotar a simulação
MCcirculo<-function(r,s,plotS=TRUE){
ns<-area<-s
r<-r
con <- 1
for (j in ns) {
#pontos aleatorios
	x<-runif(j, min=-r, max=r)
	y<-runif(j, min=-r, max=r)
	ponto<-cbind(x,y)
  cont <- sum(apply(ponto,1,function(x){sqrt(sum(x^2))})<r)
#plotando Simulação
  if(plotS==TRUE){
	plot(x,y,col="red",type="p",asp=1,lwd=1,xlim=c(-r,r),ylim=c(-r,r), main="Simulação Monte Carlo",sub=j)
	ang <- seq(0, 2*pi, length = 100)
	xx <- r * cos(ang);yy <- r * sin(ang)
	polygon(xx, yy,border = "dark blue",lwd=2)
  }  
#Calculo de Area
	area[con]<-(cont/j)*(r^2)*4
  cat(paste(round(area[con],6),j,'\n'))
  con <- con+1
}
	plot(ns,area,main="Simulação Monte Carlo",xlab='Número da amostra',ylab='Area')
  abline(h=pi*r^2,col='red',lwd=2)
 
}
MCcirculo(1,seq(5,5000,by=1000),plotS=FALSE)
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### Inversão de Probabilidade
### OBJ: gerar x~exp transformando de uma uniforme
NS <- 10000
lam <- 0.5
#f(x)=exp(lam) F(x)=1-exp(-lam*x), logo: F^-1(x)= -lam^-1*log(1-x)
Gexp <- function(x,lam){-(log(1-U))/lam}
 
U <- runif(NS)
X <- Gexp(U,lam)
Y <- rexp(NS,lam)
 
par(mfrow=c(1,3))
hist(U,freq=FALSE,main='Uniforme',col='lightblue')
lines(density(U),col='red',lwd=2)
 
hist(X,freq=FALSE,main='Expoencial via uniforme',col='lightblue')
lines(density(X),col='red',lwd=2)
lines(curve(dexp(x,lam),min(X),max(X),add=TRUE),col='blue',lwd=2)
 
hist(Y,freq=FALSE,main='Expoencial do R',col='lightblue')
lines(density(Y),col='red',lwd=2)
lines(curve(dexp(x,lam),min(Y),max(Y),add=TRUE),col='blue',lwd=2)
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### Metodos de integração numerica
#Função
f <- function(x){exp(-x^2)}
a <- -3
b <- 3
# integrar de -3,3
x <- seq(a,b,l=100)
plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,1))
# Integração nativa do R - Gauss–Kronrod quadrature
integrate(f,a,b)
###Simpson 1/3 - INtervalos par, igualmente espaçados
n <- 1200
xi <- seq(a,b,l=n+1)
i <- seq(2,n,by=2)
j <- seq(3,n-1,by=2)
((b-a)/n/3)*(f(a)+4*sum(f(xi[i]))+2*sum(f(xi[j]))+f(b))
###Simpson 3/8 - Intervalos divisiveis por 3
n <- 1200
xi <- seq(a,b,l=n+1)
i <- seq(2,n,by=3)
j <- seq(4,n-2,by=3)
((3*(b-a)/n)/8)*(f(a)+3*sum(f(xi[i])+f(xi[i+1]))+2*sum(f(xi[j]))+f(b))
### Quadratura gausiana 3º Ordem
w <- c(0.555555,0.888888,0.555555)
xi <- c(-0.77459667,0,0.77459667)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
### Quadratura gausiana 4º Ordem
w <- c(0.3478548,0.6521452,0.6521452,0.3478548)
xi <- c(-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
### Quadratura gausiana 6º Ordem
w <- c(0.1713245,0.3607616,0.4679139,0.4679139,0.3607616,0.1713245)
xi <- c(-0.933246951,-0.66120938,-0.23861919,0.23861919,0.66120938,0.933246951)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
###Monte Carlo
n <- 10000
xi <- runif(n,a,b)
Ls <- max(f(seq(a,b,l=100)))
Li <- 0
yi <- runif(n,Li,Ls)
sum(f(xi)>=yi)/n*((b-a)*(Ls-Li))
points(xi,yi)
###Laplace
#f' <- -2*x*exp(-x^2)
D2f  <- function(x){(4*x^2-2)*exp(-x^2)}
D2f(0)
((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(0)
##Avaliando
x <- seq(a,b,l=100)
plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,2))
lines(x,((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(x),col="red")
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### Solução analitica, númerica e por simulação do modelo
# X ~ B(n,p)
# p ~ Beta(alfa,beta)
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require(sfsmisc)
require(latticeExtra)
require(MASS)
#browseURL('http://cs.illinois.edu/class/sp10/cs598jhm/Slides/Lecture02HO.pdf')
 
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### grid de p
p <- seq(0,0.99999,by=0.001)
### Priori
alfa <- 1
beta <- 1
p.priori <- dbeta(p,alfa,beta)
### Verossimilhança
n <- 1000
x <- rbinom(1,n,0.3)
vero <- function(p,n,x){exp(sum(dbinom(x,n,p,log=TRUE)))}
p.vero <- apply(matrix(p),1,vero,n=n,x=x)
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### Solução analitica
### Posteriori
p.posteA <- dbeta(p,alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteA ~ p, foo, type = "l",lwd=3), 
             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3) 
### confirmando se a posteriori é uma fdp             
integrate.xy(p,p.posteA)             
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### INtegração númerica para normalização
### posteriori
p.posteN <- (p.priori*p.vero)/(integrate.xy(p,p.priori*p.vero))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteN ~ p, foo, type = "l",lwd=2), 
             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
### confirmando se a posteriori é uma fdp             
integrate.xy(p,p.posteN)
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### Amostragem da posteriori
ns <- 100000
theta_chapeu <- sum(x)/(n*length(x))
theta_i <- rbeta(ns,alfa,beta)
    u_i <- runif(ns,0,1)
crite <- u_i <= ((dbeta(theta_i,alfa,beta)*apply(matrix(theta_i),1,vero,n=n,x=x))/
                 (dbeta(theta_chapeu,alfa,beta)*vero(theta_chapeu,n=n,x=x)))
a.posteriori <- theta_i[crite]     
mean(a.posteriori,na.rm=TRUE)
### Taxa Aceitação
sum(crite)/ns
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### Comparando os resultados
hist(a.posteriori,prob=TRUE)
rug(a.posteriori)
lines(density(a.posteriori))
lines(p,p.posteA,col='red',lwd=3)
lines(p,p.posteN,col='blue',lty=2)
legend('topleft',c('Amostragem','Analitico','Númerica'),lty=c(1,1,2),col=c('black','red','blue'))
 
### Intervalos via verosimilhança aproximado
theta_chapeu+c(-1,1)*1.96*sqrt((theta_chapeu*(1-theta_chapeu))/n)
### IC amostragem
quantile(a.posteriori,c(0.025,0.975))
### Analitico da conjugada
qbeta(c(0.025,0.975),alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
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### Regressão Beta
### pacote oficial
require(betareg)
data("FoodExpenditure", package = "betareg")
fe_beta <- betareg(I(food/income) ~ income + persons , data = FoodExpenditure)
summary(fe_beta)
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### log vero da regressão beta com duas covariaveis, 
log.vero <- function(par,y,x1,x2){
        mu <- exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2))/(1+exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2)))##logit^-1
        ll  <- sum(dbeta(y, mu* par[4], (1-mu)*par[4],log = TRUE))
        return(ll)
}
 
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opt <- optim(c(B0=-0.5,B1=-0.51,B2=0.11,phi=35),log.vero,y=FoodExpenditure$food/FoodExpenditure$income,
                                                        x1=FoodExpenditure$income,
                                                        x2=FoodExpenditure$persons,
                                                        hessian = TRUE, control=(list(fnscale=-1)))
opt
opt$par
sqrt(-diag(solve(opt$hessian)))
summary(fe_beta)
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Regressão beta