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Éder David Borges da Silva
- Graduado em Engenharia Agronômica - Eng Agronômica - UFPR
- e-mail: ederdbs@gmail.com / eder@leg.ufpr.br
Área de Interesse
Disciplinas 2011/1
Minicursos
- Análise de Experimentos de longa duração II Reunião Paranaense Ciência do Solo
Códigos
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### Agulha de buffon
buffon <- function(n,l=1,a=1){
if(a<l){cat('Erro: a < l, deve ser a > l\n')}
if(a>=l){
theta <- runif(n,0,pi)
dist <- runif(n,0,a/2)
inter <- sum(dist <= l/2*sin(theta))
phi_est <- round((n/inter)*(2*l/a),12)
cat('Número Simulação',n,'phi_estimado',phi_est,'Erro',round(pi-phi_est,12),'\n')
return(c(n,phi_est))
}}
n <- seq(10000,1000000,by=20000)
res <- matrix(NA,ncol=2,nrow=length(n))
con <- 1
for (i in n){
res[con,] <- buffon(i)
con <- con+1
}
plot(res,type='l',ylab=expression(pi),xlab='Simulações')
abline(h=pi,col='red')
###-----------------------------------------------------------------###
### MOnte carlo
## Calcula a área via simulação de monte carlo
## args: r= raio, s vetor com numero de simulação, plotS plotar a simulação
MCcirculo<-function(r,s,plotS=TRUE){
ns<-area<-s
r<-r
con <- 1
for (j in ns) {
#pontos aleatorios
x<-runif(j, min=-r, max=r)
y<-runif(j, min=-r, max=r)
ponto<-cbind(x,y)
cont <- sum(apply(ponto,1,function(x){sqrt(sum(x^2))})<r)
#plotando Simulação
if(plotS==TRUE){
plot(x,y,col="red",type="p",asp=1,lwd=1,xlim=c(-r,r),ylim=c(-r,r), main="Simulação Monte Carlo",sub=j)
ang <- seq(0, 2*pi, length = 100)
xx <- r * cos(ang);yy <- r * sin(ang)
polygon(xx, yy,border = "dark blue",lwd=2)
}
#Calculo de Area
area[con]<-(cont/j)*(r^2)*4
cat(paste(round(area[con],6),j,'\n'))
con <- con+1
}
plot(ns,area,main="Simulação Monte Carlo",xlab='Número da amostra',ylab='Area')
abline(h=pi*r^2,col='red',lwd=2)
}
MCcirculo(1,seq(5,5000,by=1000),plotS=FALSE)
###-----------------------------------------------------------------###
### Inversão de Probabilidade
### OBJ: gerar x~exp transformando de uma uniforme
NS <- 10000
lam <- 0.5
#f(x)=exp(lam) F(x)=1-exp(-lam*x), logo: F^-1(x)= -lam^-1*log(1-x)
Gexp <- function(x,lam){-(log(1-U))/lam}
U <- runif(NS)
X <- Gexp(U,lam)
Y <- rexp(NS,lam)
par(mfrow=c(1,3))
hist(U,freq=FALSE,main='Uniforme',col='lightblue')
lines(density(U),col='red',lwd=2)
hist(X,freq=FALSE,main='Expoencial via uniforme',col='lightblue')
lines(density(X),col='red',lwd=2)
lines(curve(dexp(x,lam),min(X),max(X),add=TRUE),col='blue',lwd=2)
hist(Y,freq=FALSE,main='Expoencial do R',col='lightblue')
lines(density(Y),col='red',lwd=2)
lines(curve(dexp(x,lam),min(Y),max(Y),add=TRUE),col='blue',lwd=2)
###-----------------------------------------------------------------###
### Metodos de integração numerica
#Função
f <- function(x){exp(-x^2)}
a <- -3
b <- 3
# integrar de -3,3
x <- seq(a,b,l=100)
plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,1))
# Integração nativa do R - Gauss–Kronrod quadrature
integrate(f,a,b)
###Simpson 1/3 - INtervalos par, igualmente espaçados
n <- 1200
xi <- seq(a,b,l=n+1)
i <- seq(2,n,by=2)
j <- seq(3,n-1,by=2)
((b-a)/n/3)*(f(a)+4*sum(f(xi[i]))+2*sum(f(xi[j]))+f(b))
###Simpson 3/8 - Intervalos divisiveis por 3
n <- 1200
xi <- seq(a,b,l=n+1)
i <- seq(2,n,by=3)
j <- seq(4,n-2,by=3)
((3*(b-a)/n)/8)*(f(a)+3*sum(f(xi[i])+f(xi[i+1]))+2*sum(f(xi[j]))+f(b))
### Quadratura gausiana 3º Ordem
w <- c(0.555555,0.888888,0.555555)
xi <- c(-0.77459667,0,0.77459667)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
### Quadratura gausiana 4º Ordem
w <- c(0.3478548,0.6521452,0.6521452,0.3478548)
xi <- c(-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
### Quadratura gausiana 6º Ordem
w <- c(0.1713245,0.3607616,0.4679139,0.4679139,0.3607616,0.1713245)
xi <- c(-0.933246951,-0.66120938,-0.23861919,0.23861919,0.66120938,0.933246951)
(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
###Monte Carlo
n <- 10000
xi <- runif(n,a,b)
Ls <- max(f(seq(a,b,l=100)))
Li <- 0
yi <- runif(n,Li,Ls)
sum(f(xi)>=yi)/n*((b-a)*(Ls-Li))
points(xi,yi)
###Laplace
#f' <- -2*x*exp(-x^2)
D2f <- function(x){(4*x^2-2)*exp(-x^2)}
D2f(0)
((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(0)
##Avaliando
x <- seq(a,b,l=100)
plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,2))
lines(x,((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(x),col="red")
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### Solução analitica, númerica e por simulação do modelo
# X ~ B(n,p)
# p ~ Beta(alfa,beta)
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
require(sfsmisc)
require(latticeExtra)
require(MASS)
#browseURL('http://cs.illinois.edu/class/sp10/cs598jhm/Slides/Lecture02HO.pdf')
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### grid de p
p <- seq(0,0.99999,by=0.001)
### Priori
alfa <- 1
beta <- 1
p.priori <- dbeta(p,alfa,beta)
### Verossimilhança
n <- 1000
x <- rbinom(1,n,0.3)
vero <- function(p,n,x){exp(sum(dbinom(x,n,p,log=TRUE)))}
p.vero <- apply(matrix(p),1,vero,n=n,x=x)
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### Solução analitica
### Posteriori
p.posteA <- dbeta(p,alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteA ~ p, foo, type = "l",lwd=3),
xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
### confirmando se a posteriori é uma fdp
integrate.xy(p,p.posteA)
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### INtegração númerica para normalização
### posteriori
p.posteN <- (p.priori*p.vero)/(integrate.xy(p,p.priori*p.vero))
### Plotando
doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteN ~ p, foo, type = "l",lwd=2),
xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
### confirmando se a posteriori é uma fdp
integrate.xy(p,p.posteN)
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### Amostragem da posteriori
ns <- 100000
theta_chapeu <- sum(x)/(n*length(x))
theta_i <- rbeta(ns,alfa,beta)
u_i <- runif(ns,0,1)
crite <- u_i <= ((dbeta(theta_i,alfa,beta)*apply(matrix(theta_i),1,vero,n=n,x=x))/
(dbeta(theta_chapeu,alfa,beta)*vero(theta_chapeu,n=n,x=x)))
a.posteriori <- theta_i[crite]
mean(a.posteriori,na.rm=TRUE)
### Taxa Aceitação
sum(crite)/ns
###------------------------------------------------------------###
###------------------------------------------------------------###
### Comparando os resultados
hist(a.posteriori,prob=TRUE)
rug(a.posteriori)
lines(density(a.posteriori))
lines(p,p.posteA,col='red',lwd=3)
lines(p,p.posteN,col='blue',lty=2)
legend('topleft',c('Amostragem','Analitico','Númerica'),lty=c(1,1,2),col=c('black','red','blue'))
### Intervalos via verosimilhança aproximado
theta_chapeu+c(-1,1)*1.96*sqrt((theta_chapeu*(1-theta_chapeu))/n)
### IC amostragem
quantile(a.posteriori,c(0.025,0.975))
### Analitico da conjugada
qbeta(c(0.025,0.975),alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
###------------------------------------------------------------###
##------------------------------------------------------------###
###-----------------------------------------------------------------###
### Regressão Beta
### pacote oficial
require(betareg)
data("FoodExpenditure", package = "betareg")
fe_beta <- betareg(I(food/income) ~ income + persons , data = FoodExpenditure)
summary(fe_beta)
###-----------------------------------------------------------------###
### log vero da regressão beta com duas covariaveis,
log.vero <- function(par,y,x1,x2){
mu <- exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2))/(1+exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2)))##logit^-1
ll <- sum(dbeta(y, mu* par[4], (1-mu)*par[4],log = TRUE))
return(ll)
}
###-----------------------------------------------------------------###
opt <- optim(c(B0=-0.5,B1=-0.51,B2=0.11,phi=35),log.vero,y=FoodExpenditure$food/FoodExpenditure$income,
x1=FoodExpenditure$income,
x2=FoodExpenditure$persons,
hessian = TRUE, control=(list(fnscale=-1)))
opt
opt$par
sqrt(-diag(solve(opt$hessian)))
summary(fe_beta)
###-----------------------------------------------------------------###
log.veroP <- function(par,phi,y,x1,x2){
mu <- exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2))/(1+exp((par[1] + par[2] * x1 + par[3] * x2)))##logit^-1
ll <- sum(dbeta(y, mu* phi, (1-mu)*phi,log = TRUE))
return(ll)
}
opt <- grid.phi <- seq(20,60,l=150)
con <- 1
for (i in grid.phi){
opt[con] <- optim(c(B0=-0.5,B1=-0.51,B2=0.11),log.veroP,phi=i,y=FoodExpenditure$food/FoodExpenditure$income,
x1=FoodExpenditure$income,
x2=FoodExpenditure$persons,
hessian = TRUE, control=(list(fnscale=-1)))$value
con <- con+1
}
plot(grid.phi,2*(max(opt)-opt),type='l')
abline(h=3.84)
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###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
### Algumas funções para analise utilizando MCMC
### topicos:
### 1) Modelos com JAGS via R (Regressão linear, Logistica)
### 2) dclone juntamente com JAGS
### 3) MCMCsamp em modelos mistos
### 4) MCMCglmm
### 5) MCMCpack
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
rm(list=ls())
### JAGS
require(runjags)
###--------------------------------------------------###
#### Exemplo JAGS (função run-jags)
## Exemplo de regressão linear simples
# Simulação de dados
X <- 1:50
Y <- rnorm(length(X), 2*X + 10, 6)
plot(X,Y)
###--------------------------------------------------###
### Inferencia por minimos quadrados
m0 <- lm(Y~X)
summary(m0)
###--------------------------------------------------###
### Modelo y = a*x+b
### Ajustando com o JAGS
### Priori para a ~ dnorm(0,0.001)
### Priori para b ~ dnorm(0,0.001)
### Priori para sigma ~ exp(1)
### Escrevendo o modelo
model <- "model {
for(i in 1 : N){
Y[i] ~ dnorm(y.est[i],sigma);
y.est[i] <- (a * X[i]) + b;
}
a ~ dnorm(0,0.001);
b ~ dnorm(0,0.001);
sigma ~ dexp(1);
}"
### Data e valor inicial
data <- dump.format(list(X=X, Y=Y, N=length(X)))
inits0 <- dump.format(list(m=1, c=10, sigma=1))
inits1 <- dump.format(list(m=0, c=0, sigma=1))
# Run the model
m1 <- run.jags(model=model, monitor=c("a","b","sigma"),
data=data, inits=c(inits0,inits1),n.chains=3, plots = TRUE)
### informações do objeto
names(m1)
### Verificando a cadeia
plot(m1$mcmc[[1]])
### Intervalos de credibilidade
m1$HPD
### Sumario
m1$summary
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
### Regressão logistica (Livro Introdução Analise Bayesiana)
## pi (n/y) é a proporção de embriões com asas
## ti é a variável “tempo desde a deposição dos ovos”
## função de ligação logit
t <- c(5,6,8,8,10,11,16,18)
n <- c(34,33,33,35,30,27,33,39)
y <- c(6,4,23,18,28,27,33,39)
dados <- cbind(y,n-y)
m0 <- glm(dados~t,family=binomial(link=logit))
summary(m0)
datalist <- dump.format(list(metamorfose=y,total=n,tempo=t))
params <- c("beta0","beta1")
inicial <- dump.format(list(beta0=coef(m0)[1],
beta1=coef(m0)[2]))
###--------------------------------------------------###
modmcmc <- "model{
for(i in 1:length(metamorfose)){
metamorfose[i] ~ dbin(p[i],total[i])
logit(p[i]) <- beta0+beta1*tempo[i]
}
beta0 ~ dnorm(0,0.001)
beta1 ~ dnorm(0,0.001)
}"
### rodando o modelo
modfit <- run.jags(model=modmcmc,monitor=params,data=datalist,
inits=inicial,n.chains=1,burnin=10000,thin=3,sample=9000,check.conv=TRUE)
### Verificando a cadeia
plot(modfit$mcmc[[1]])
### Intervalos de credibilidade
modfit$HPD
### Sumario
modfit$summary
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
### Modelos com repetição
x <- gl(5,4)
y <- rnorm(20,10,5)
X <- model.matrix(~x)
datalist <- dump.format(list(y=y,X=X))
params <- c("beta1","tau")
inicial <- dump.format(list(beta1=rep(0,nlevels(x)),tau=1))
###--------------------------------------------------###
modmcmc <- "model{
for(i in 1:length(y)){
y[i] ~ dnorm(yb[i],tau)
yb[i] <- inprod(X[i,], beta1)
}
tau ~ dexp(1);
for(j in 1:5){
beta1[j] ~ dnorm(0,0.001)
}
}"
### rodando o modelo
modfit <- run.jags(model=modmcmc,monitor=params,data=datalist,
inits=inicial,check.conv=TRUE)
### Verificando a cadeia
plot(modfit$mcmc[[1]])
### Intervalos de credibilidade
modfit$HPD
### Sumario
modfit$summary
#### Minimos quadrados
summary(lm(y~x))
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
### JAGS com Dclone
require(dclone)
## simple regression example from the JAGS manual
jfun <- function() {
for (i in 1:N) {
Y[i] ~ dnorm(mu[i], tau)
mu[i] <- alpha + beta * (x[i] - x.bar)
}
x.bar <- mean(x[])
alpha ~ dnorm(0.0, 1.0E-4)
beta ~ dnorm(0.0, 1.0E-4)
sigma <- 1.0/sqrt(tau)
tau ~ dgamma(1.0E-3, 1.0E-3)
}
## data generation
set.seed(1234)
N <- 100
alpha <- 1
beta <- -1
sigma <- 0.5
x <- runif(N)
linpred <- model.matrix(~x) %*% c(alpha, beta)
Y <- rnorm(N, mean = linpred, sd = sigma)
## list of data for the model
jdata <- list(N = N, Y = Y, x = x)
## what to monitor
jpara <- c("alpha", "beta", "sigma")
## fit the model with JAGS
regmod <- jags.fit(jdata, jpara, jfun, n.chains = 3)
## model summary
summary(regmod)
## data cloning
dcdata <- dclone(jdata, 5, multiply = "N")
dcmod <- jags.fit(dcdata, jpara, jfun, n.chains = 3)
summary(dcmod)
#### opções de computação paralela
?jags.parfit
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
### Modelo misto - Amostrando a posteriorir via MCMC
require(lme4)
### Resposta normal
m0 <- lmer(Reaction ~ Days + (1|Subject) + (0+Days|Subject), sleepstudy)
summary(m0)
sampm0 <- mcmcsamp(m0, n = 1000)
HPDinterval(sampm0)
xyplot(sampm0)
qqmath(sampm0)
densityplot(sampm0)
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
browseURL("http://cran-r.c3sl.ufpr.br/web/packages/MCMCglmm/vignettes/CourseNotes.pdf")
browseURL("http://cran-r.c3sl.ufpr.br/web/packages/MCMCglmm/vignettes/Overview.pdf")
browseURL("http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.160.5098&rep=rep1&type=pdf")
require(MCMCglmm)
?MCMCglmm
data(PlodiaPO)
### Modelo normal
model1<-MCMCglmm(PO~1, random=~FSfamily, data=PlodiaPO, verbose=FALSE)
summary(model1)
plot.MCMCglmm(model1)
### MOdelo binomial
model2 <- MCMCglmm(cbind(Pupated, Infected) ~ 1,random=~FSfamily, family = "multinomial2",
data = PlodiaR, verbose = FALSE)
plot.MCMCglmm(model2)
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
require(MCMCpack)
### Modelo Poisson
counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
outcome <- gl(3,1,9)
treatment <- gl(3,3)
posterior <- MCMCpoisson(counts ~ outcome + treatment)
plot(posterior)
summary(posterior)
###--------------------------------------------------###
###--------------------------------------------------###
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